Matematica Vedica

"Gli studenti americani, in difficoltà con la matematica, hanno scoperto che possono andare a ripetizione da bravissimi matematici indiani per soli 15 dollari all’ora. Una cifra ben diversa da quella richiesta dai professori americani. Ci si collega on line con uno dei centri specializzati in questo servizio e si stabilisce un contatto individuale con un professore molto paziente e disposto a chiarire qualsiasi dubbio e risolvere i problemi più complicati.
E’ uno dei segnali, certo non il più rilevante, ma in ogni caso indicativo, della rivoluzione indiana, in competizione con gli Stati Uniti e con tutto l’Occidente a un livello ben diverso da quello che immaginavamo. Non è più la moltitudine di operai intenti a confezionare i nostri jeans o i nostri giocattoli. “Del decollo economico indiano invece ormai tutti hanno percepito che è ad alta intensità di materia grigia, colletti bianchi, lavori intellettuali” – scrive Federico Rampini nel suo bel libro da poco in libreria, La speranza indiana. “I neolaureati indiani nell’economia globale puntano alle stesse professioni che in Occidente interessano il ceto medioalto, i figli degli ingegneri e degli avvocati, dei manager e dei medici”.
L’India sforna ogni anno oltre duecentomila laureati in ingegneria, più del doppio dell’America e dell’Europa. Certo i problemi che deve risolvere sono ancora enormi: ha trecentottanta milioni di analfabeti e duecentoventi milioni di persone che vivono con meno di un dollaro al giorno, ma è previsto che in qualche decennio l’India diventi leader mondiale dell’economia, superando gli Stati Uniti.
Per la matematica l’India ha una grande tradizione e rivendica giustamente un primato che è stato, almeno in parte usurpato dall’Occidente. "Nelle intenzioni di qualcuno - osserva Gorge Gheverghese nel suo libro fondamentale per riscoprire la vera storia della matematica, C’era una volta il numero - il progresso scientifico diventa un fenomeno esclusivamente europeo che può essere emulato da altre nazioni solo seguendo il peculiare cammino dell'evoluzione sociale e scientifica in Europa". L’India non è soltanto la patria dello zero e delle cifre che gli arabi portarono dall’India all’Europa. Il teorema di Pitagora, ricorda Gheverghese, era già conosciuto dai babilonesi mille anni prima di Pitagora e furono gli indiani a definire il seno di un angolo.
Tra i grandi matematici non c’è soltanto Srinivasa Aiyangar Ramanujan, il bambino prodigio che, cent’anni fa, da autodidatta, ottenne risultati eccezionali nella teoria dei numeri.Proprio quest’anno Srinivasa S. R. Varadhan ha vinto il premio Abel, l’equivalente del premio Nobel per i matematici, con le sue ricerche sul calcolo delle probabilità. E Varadhan non è un’eccezione. Tra i matematici oggi più apprezzati molti sono indiani. Ricordiamo ancora Ramdorai Sujatha premio Ramanujan 2006 all’ICTP di Trieste, Narendra K. Karmarkar, autore di un noto algoritmo matematico, il giovane Manjul Bhargava, docente alla Princeton University, noto per le sue ricerche su equazioni e numeri primi e Shreeram Shankar Abhyankar, che ha ottenuto notevoli risultati nella geometria algebrica.
Un altro segnale, forse il più evidente, dell’affermazione della matematica indiana è la recente diffusione della Matematica Vedica nelle scuole americane. Prepariamoci dunque al suo arrivo anche nelle nostre scuole. Per ora, se scriviamo “matematica vedica” su Google, contiamo una cinquantina di pagine, ma se scriviamo “vedic mathematics” le pagine sono già più di centomila, segno dell’interesse, al di fuori del nostro paese, per questo argomento.
Di che cosa si tratta? Per Matematica Vedica si intende in generale la matematica risalente ai Veda, i testi sacri dell’induismo, fonte della conoscenza, trasmessa oralmente attraverso i Sutra, che possiamo definire aforismi della saggezza indiana.
Tra il 1911 e il 1918, Jagadguru Shankaracharya Shri Bharati Krishna Tirthaji Maharaja, una delle figure più autorevoli dell’induismo del XX secolo, affermò di aver ritrovato nuove, originali regole matematiche nella sua copia personale, andata poi smarrita, di uno dei testi sacri, l’Atharvaveda. Questo libro avrebbe avuto, secondo Shankaracharya, un’appendice contenente la rivelazione dell’essenza della saggezza matematica, racchiusa in sedici Sutra e nei loro corollari.
Ma questa appendice matematica non si trova in nessuna delle altre copie note dell’Atharvaveda. Questi Sutra, studiati da Shankaracharya, portarono a una nuova e originale teoria matematica, pubblicata per la prima volta nel 1965. Il curatore del libro Vedic Mathematics, che riporta gli studi di Shankaracharya, scrive che “lo stile dei Sutra matematici fa pensare che l’autore sia lo stesso Shankaracharya”.
In pratica, almeno all’inizio, vengono presentate diverse tecniche di calcolo, utili per sviluppare una maggiore flessibilità nel ragionamento matematico. Lo studente, grazie a queste tecniche di calcolo, approfondite in seguito da molti altri matematici, può scoprire più facilmente nuovi metodi di soluzione dei problemi e rendersi conto che non esiste un unico metodo corretto. In tal modo il lavoro scolastico diventa più creativo, dicono i fautori della Matematica Vedica, e aumenta l’interesse per il lavoro che lo studente deve fare in classe. Da qualche anno, la matematica Vedica è stata introdotta nelle scuole indiane e l’università di Nuova Delhi ha organizzato, per l’anno 2007 – 08, un corso di Matematica Vedica con l’obiettivo di rendere la matematica più attraente per gli studenti. Ora si sta diffondendo nelle più prestigiose scuole americane, presentata come il fiore all’occhiello dei loro programmi.
Vediamone alcuni esempi, secondo l’interpretazione data da Sankaracharya.
Ekadhikena Purvena, il primo Sutra “matematico”, recita: “Uno in più del precedente”.
Vediamo come applicare questo Sutra, secondo l’interpretazione di Shankaracharya, al calcolo del quadrato dei numeri che terminano con un 5 e al quadrato quindi con 25.
Calcoliamo, ad esempio, il quadrato di 35.
Il 3 precede il 5 e quindi i due numeri da moltiplicare fra loro, in questo caso, sono 3, “il precedente” e “uno in più del precedente”, 3 + 1 = 4.
Abbiamo 3 x (3+1); 25 => 3 x 4; 25 => 12;25 => 1225
Allo stesso modo, abbiamo:
45² => 4 x (4 + 1); 25 => 2025.
65²=> 6 x (6 + 1); 25 => 4225;
105²=> 10 x (10 + 1); 25 => 11025;
135²=> 13 x (13 + 1); 25 => 18225.
Vediamo un secondo esempio, sulla moltiplicazione di due numeri aventi la stessa cifra decimale e tali che la somma delle cifre delle unità sia uguale a 10.
43 x 47 = 2021
Entrambi hanno la stessa cifra delle decine, 4 e la somma delle unità è uguale a 10. Anche in questo caso si moltiplica la cifra delle decine per la stessa più 1 e le cifre delle unità fra loro, riportando poi il risultato secondo lo schema seguente:


Nella moltiplicazione sono sempre necessarie due cifre nella parte finale del numero. Ad esempio con 81 x 89 = 7209 non scriviamo 9, ma scriviamo 09.
Nikhilam è il secondo Sutra, che afferma: “Tutti dal 9 e l’ultimo dal 10”.
Applichiamolo alla sottrazione da 1000, sempre con il procedimento studiato da Shankaracharya. E’ simile alla tecnica usata nelle nostre scuole.
Calcoliamo 1.000 – 357. Si sottraggono da 9 le cifre 3 e 5, 9 – 3 = 6, 9 – 5 = 4, e l’ultima, 7, dal 10, 10 – 7 = 3. Il risultato è quindi 643. In schema:

Come secondo esempio vediamo l’applicazione alla moltiplicazione. Ad esempio 7 x 8.
Scriviamo in colonna i due numeri con, a fianco, la loro differenza dal 10: 7 – 10 = -3 e 8 – 10 = -2.
7 -3
8 -2
Il prodotto viene calcolato in due parti che separiamo fra loro con una barra.

La cifra delle unità è il prodotto delle due differenze dal 10: (-3) x (-2) = 6.
La cifra delle decine corrisponde invece alla somma fra il primo numero 7 e la differenza dal 10 del secondo numero. In questo caso: 7 + (-2) = 5. Oppure è la stessa cosa fare la somma fra il secondo numero e la differenza dal 10 del primo: 8 + (-3) = 5. Il risultato è quindi 56.
Ci sono ancora altri metodi per calcolare moltiplicazioni simili o con più cifre.
Vediamo un esempio relativo al terzo Sutra, Paravartya – Yojayet cioè Sposta, inverti e applica.
Applichiamolo al prodotto di due numeri. Ad esempio, 14 x 12. Il metodo ricorda quello usato anche in occidente dai calcolatori mentali.
In pratica le unità dei due fattori vengono moltiplicate fra loro, 4 x 2 = 8, e quest’ultimo numero sarà la prima cifra, a destra, della risposta. Successivamente si moltiplicano tra loro in diagonale le cifre dei due numeri. L’unità del primo numero e le decine del secondo numero: 4 x 1 = 4. Moltiplichiamo poi le decine del primo numero con le unità del secondo, 1 x 2 = 2 e sommiamo i due risultati: 4 + 2 = 6. Quest’ultima sarà la seconda cifra, a sinistra, del risultato. Moltiplichiamo ancora le decine del primo numero per le decine del secondo: 1 x 1 = 1 e questa sarà la terza cifra del risultato: 168. Lo schema del procedimento è sintetizzato in figura.

Una regola simile si può applicare all’addizione o alla sottrazione delle frazioni. Ad esempio, calcoliamo

In figura sono indicate le moltiplicazioni da eseguire. Il risultato naturalmente, quando è possibile, dovrà essere semplificato.

Il sesto Sutra, Anurupye Shunyamanyat afferma: “Se uno è in rapporto, l’altro è zero”.

Questo Sutra viene applicato per risolvere sistemi di equazioni con grandi numeri. Ma alcuni casi più semplici ci consentono di capire come si può applicare. Ad esempio:



In questo caso il rapporto dei coefficienti di y è identico a quello dei termini noti. Quindi “l’altro” è zero, cioè x = 0. Quindi la soluzione del sistema è x = 0 e y = 8/7.


Il settimo Sutra, Sankalana – Vyavakalanabhyam, afferma: “Per addizione e per sottrazione”,

Vediamo l’applicazione di questo Sutra a un caso molto semplice, con i coefficienti di x e di y identici, ma scambiati fra loro. Ad esempio:



Secondo il metodo in uso nelle nostre scuole dovremmo moltiplicare la prima equazione per 45 e la seconda per 23, sottrarre poi i termini della seconda dalla prima per ottenere il valore di y. Sostituiamo poi il valore ottenuto in una delle due equazioni per ottenere alla fine il valore di x. Un procedimento decisamente macchinoso. Vediamo invece come si procede seguendo le indicazioni del Sutra, nell’interpretazione di Shankaracharya.

Sommiamo le due equazioni:
( 45x – 23y ) + ( 23x – 45y ) = 113 + 91
68x – 68y = 204
x – y = 3
Sottraiamo un’equazione dall’altra:
( 45x – 23y ) – ( 23x – 45y ) = 113 – 91
22x + 22y = 22
x + y = 1

Se ripetiamo ancora una volta lo stesso Sutra otteniamo:
x = 2 e y = -1

Vediamo ancora, per curiosità, come si può eseguire, secondo la Matematica Vedica, la moltiplicazione per 11 o per 12.

Moltiplicazione di un numero per 11.

Per moltiplicare un numero di due cifre per 11 è sufficiente inserire la somma delle sue cifre fra quelle del primo fattore. Ad esempio,
35 x 11 => 3 (3 + 5) 5 => 385

77 x 11 => 7 (7 + 7) 7 => (7 + 1) 4 7 => 847
In questo secondo esempio c’è il riporto di un centinaio.

234 x 11 => 2 (2 + 3) (3 + 4) 4 = 2574
In questo caso si collocano i numeri 2 e 4 agli estremi e si sommano le coppie 2 + 3 = 5 e 3 + 4 = 7

Moltiplicazione di un numero per 12.

Ad esempio, 17 x 12.

Moltiplichiamo 17 per l’1 del 12, che è una decina. Moltiplichiamo quindi per 10.
10 x 17 = 170
Moltiplichiamo ancora 17 x 2 = 34
Sommiamo 34 + 170 = 204 e questo è il risultato.


Un curioso metodo grafico per l’applicazione della “moltiplicazione vedica”:
https://www.youtube.com/watch?v=kZKOPKIHsrc&mode=related&search

Provi il lettore più curioso a variare gli esempi che abbiamo presentato, andando alla scoperta di nuove regole. Potrà inoltre approfondire l’argomento alle pagine indicate dai link che riportiamo qui di seguito. Si veda ad esempio il quinto Sutra, Sunyam Samyasamuccaye per la soluzione delle equazioni di primo grado oppure l’ottavo, Puranapuranabhyam, con i suggerimenti per risolvere equazioni di secondo grado e superiori.
Con un po’ di pratica si scopriranno ben presto i vantaggi della matematica vedica applicabile, secondo Shankaracharya, anche all’analisi e all’algebra lineare."
Di Federico Peiretti

Per approfondimenti vedere link in inglese :

Una chiara esposizione dei Sutra matematici e delle loro applicazioni:
http://www.vedamu.org/Mathematics/course.asp

Un’ottima raccolta di regole ed esempi di matematica vedica:
http://www.hinduism.co.za/vedic.htm#Tutorial%201

Per approfondire l’argomento:
http://www.vedicmathsindia.org/#
http://www.vedicmaths.org/Home%20Page.asp

La matematica vedica in pratica:
http://www.sanalnair.org/articles/vedmath/example1.htm

Un ampio saggio di presentazione della matematica vedica:
http://www.tifr.res.in/~vahia/dani-vmsm.pdf